Números racionais e Dízimas periódicas
Números naturais e Dízimas periódica
D.P.S = Denominador sempre 9
D.P.C = Denominador 99 quando 100x e 999 quando 1000x
Toda dízima periódica indica um número racional, pois pode ser transformada em fração.
Existem alguns tipos de dízimas periódicas, com a simples e a composta. A simples é a quela que só a um período (número que se repete), e a composta é aquela que possui dois ou mais períodos.
Exemplo de dízima periódica simples: 0,777777...
Exemplo de dízima periódica composta: 0,101010...
Como transforma-las em fração?? É uma das perguntas mais comuns em relação a esse assunto...
Na dízima periódica simples a transformação ocorre da seguinte forma:
1º passo: Igualar a icógnita "x", da seguinte maneira: x = 0,777...
2º passo: Multiplicar a icógnita e a dízima por dez: 10x = 7,777...
3º passo: Separar a parte inteira da dízima, no caso o sete: 10x = 7 + 0,777...
4º passo: Como 0,777 é igual a "x", logo: 10x = 7 + x
5º passo: Resolver a equação: 10x - x = 7
9x = 7
x = 7/9
Na dízima periódica composta a transformação ocorre da seguinte forma:
1º passo: Igualar a icógnita "x", da seguinte maneira: x = 0,3535...
2º passo: Multiplicar a icógnita e a dízima por cem: 100x = 35,3535...
3º passo: Separar a parte inteira da dízima, no caso o trinta e cinco: 100x = 35 + 0,3535...
4º passo: Como 0,3535 é igual a "x", logo: 100x = 35 + x
5º passo: Resolver a equação: 100x - x = 35
99x = 35
x = 35/99
D.P.S = Denominador sempre 9
D.P.C = Denominador 99 quando 100x e 999 quando 1000x
Fração geratriz
Como achar a fração geratriz de uma dízima periódica?
Michele Viana Debus de França*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
A fração geratriz é aquela que dá origem a uma dízima periódica.
Aqui, vamos dar dicas de como achar as frações geratrizes de dízimas periódicas simples e compostas, de uma forma bem prática.
Período: 2
Coloca-se o período no numerador da fração e, para cada algarismo dele, coloca-se um algarismo 9 no denominador.
Nesse caso, temos uma dízima simples e a parte inteira diferente de zero.
Uma estratégia é separar parte inteira e parte decimal:
Aqui, a dica é um pouco diferente: para cada algarismo do período ainda se coloca um algarismo 9 no denominador. Mas, agora, para cada algarismo do antiperíodo se coloca um algarismo zero, também no denominador.
No caso do numerador, faz-se a seguinte conta:
(parte inteira com antiperíodo e período) - (parte inteira com antiperíodo)
Assim:
b) 1,64444...
c) 21,308888... (o período tem 1 algarismo e o antiperíodo tem 2 algarismos)
d) 2,4732121212... (o período tem 2 algarismos e o antiperíodo tem 3 algarismos)
Por que dá certo?
Veja a explicação na forma como geralmente se aprende a achar a fração geratriz na escola:
Chama-se a fração geratriz de x:
Para achar o valor de x, encontram-se múltiplos dele com apenas o período na parte decimal
E subtraem-se as duas igualdades
Assim, cria-se uma equação e elimina-se a parte infinita dos números envolvidos, achando-se a fração geratriz.
Note que, no método mais prático, a conta sugerida é a mesma que aparece na equação: 164 - 16, e o denominador fica exatamente com os mesmos algarismos.
No caso do exemplo D, deve-se multiplicar x por números ainda maiores, para se achar a mesma parte decimal nos dois números a serem subtraídos:
Aqui, vamos dar dicas de como achar as frações geratrizes de dízimas periódicas simples e compostas, de uma forma bem prática.
Dízimas periódicas simples
a) 0,2222...Período: 2
Coloca-se o período no numerador da fração e, para cada algarismo dele, coloca-se um algarismo 9 no denominador.
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Nesse caso, temos uma dízima simples e a parte inteira diferente de zero.
Uma estratégia é separar parte inteira e parte decimal:
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Dízimas periódicas compostas
a) 0,27777...Aqui, a dica é um pouco diferente: para cada algarismo do período ainda se coloca um algarismo 9 no denominador. Mas, agora, para cada algarismo do antiperíodo se coloca um algarismo zero, também no denominador.
No caso do numerador, faz-se a seguinte conta:
(parte inteira com antiperíodo e período) - (parte inteira com antiperíodo)
Assim:
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b) 1,64444...
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c) 21,308888... (o período tem 1 algarismo e o antiperíodo tem 2 algarismos)
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d) 2,4732121212... (o período tem 2 algarismos e o antiperíodo tem 3 algarismos)
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Por que dá certo?
Veja a explicação na forma como geralmente se aprende a achar a fração geratriz na escola:
Chama-se a fração geratriz de x:
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Para achar o valor de x, encontram-se múltiplos dele com apenas o período na parte decimal
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E subtraem-se as duas igualdades
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Assim, cria-se uma equação e elimina-se a parte infinita dos números envolvidos, achando-se a fração geratriz.
Note que, no método mais prático, a conta sugerida é a mesma que aparece na equação: 164 - 16, e o denominador fica exatamente com os mesmos algarismos.
No caso do exemplo D, deve-se multiplicar x por números ainda maiores, para se achar a mesma parte decimal nos dois números a serem subtraídos:
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